Теория автоматического управления

37 получим: 1 L{i(0} = j l{t)e-P'dt =- - e ' P ' CO - 0 - 0 1 л ^ -at -idt -at -idt — lime e - hm e e P \t^<x> /^-0 У /? V t^<x> /^-0 у =- l ( o - i ) = l p p co t Пример 1.3. Рассмотрим единичную ступенчатую функцию или единич­ ный скачок, которая определяется по формуле 1(0 = 1 при ? > о, О при t <0. В отличие от единичной функции 1(0 единичный скачок 1(0 терпит раз­ рыв при ? = О, поскольку 1(-0) = О и 1(+0) = 1. При этом функция 1(0 является оригиналом, удовлетворяющая тем же ограничениям, что и функция 1(0- По­ скольку эти функции отличаются лишь в момент времени ? = О, то интеграл (1.19) для функции 1(0 будет иметь тоже значение, что и для функции 1(0, т.е. их преобразования Лапласа совпадают. Таким образом, одному и тому же изображению соответствуют разные функции, значения которых отличаются только в точке ? = 0. Следовательно, изображению Лапласа соответствует единственный оригинал для значений t>Q с начальным условием w(+0) в момент времени ? = +0, т.е. при подходе справа к точке t = Q. Пример 1.4. Аналогично определяется изображение для функции u{t) = cf\ удовлетворяющей неравенству \cf^ \<Ме^^ при М>\ и с = а. Тогда при (7 >с = а или о--а>0 получим: Р —й р —й\ f —>0 f—>-0 00 00 - L [ r ] = j a"'e-P'dt = j = - 0 - 0 1 p-a \t^m t^-0 J p-a^ ' p-a Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.