Теория автоматического управления

267 * т где Л =A-bk - матрица замкнутой системы, у которой собственные значе­ ния I Tj |<1, i = различные, Перепишем уравненне (28) в отклонении от уста- новиБитегося режима полагая .v[/TQ ] = .v^, „ + At[zTJ: ДлК? +Щ ] =. / д , г [ / + bS[iT^]. (33) Найдем верхнюю оценку области изменения вектора В устано­ вившемся режиме при i Д.тя зтого с помощью неособого преобразования Д.г[/Го] = М/^[/To] приведем систему (33) к виду ;?[(/ +1)7] = + (34) где J = М~^А*М =d i a g ( z j , d = M~^b = [1 ... 1]^. Матрица А4 находится как и ранее ио формуле; М = UU~^, где U = \Ь Л'Ь... , U = [d .Id - неособая матрица Покажем, что если вектор ;7[0] принадлежит области то при любом / > 0. Действительно, уравнению (34) соответствуют уравнения ^7/[(' + ] =- j ' 7 y ] + '5[?lo], (36) 1 ГЗ которых при / = о с учетом г][0] eQ^ следуют неравенства I '7,[7о]|<| I • IДО]I +15[0]|<| г , I ^ + - = , j=Ui. т.е. выполняется условие ;/[7Q]eQ^ . Аналогично показывается, что Г ][2Т^]( Е О^ и т.д., что и требовалось доказать. При произвольных начальных условиях /^[0] для уравнений (36) справед­ ливы решения г - 1 nj VT q] = -;/7/[0] + ^ ф [ ( ? - 1 - А')Го]. У = 1." . к=0 для которых справедливы неравенства