Теория вероятностей и математическая статистика

Нормальный закон распределения. Для непрерывной с. в. нормальный закон распределения задается плотностью вероятности (x-mf Дх) = -У=е , ст>/2я где т = М[Х1 а[Х] = ,[ЩХ]. Вид кривой распределения для нормального закона представлен на рис.4. Центр рассеивания т дает положение центра симметрии рассеивания. При изменении величины т кривая смещается вдоль оси Ох. Параметр а характеризует форму кривой распределения. При увеличении ст кривая становится более плоской, при уменьшении а кривая вытягивается вверх и сжимается с боков. Вероятность попадания с.в. в определенный интервал вычисляется, например, с помощью функции Лапласа : Ф{2) = -^1е' ^ dt, для которой составлена табл.П 1. В ней каждому значению z соответствует значение функции Ф(г). Свойства функции Лапласа. 1)ф(--) = -ф(-); 2) Ф(+оо) = 1/2; 3) Ф(г) =р ( ^ 0 < ^ ^ ^ < г ^ ; 4) для нормального закона функция распределения и функция Лапласа связаны формулой f ( j ) - ^ + Ф^' ~ ^ если z > О; 5) Р{а < X <Ь)= < X < я) =2 ф [ ^ - « = О• Правило «трех сигм». Вероятность отклонения нормально распределенной с.в. от ее среднего значения т на величину, которая по модулю меньше, чем Зст, практически равна 1: Р^Х - т\ < 3o)= 0,9973 . Пример. Ошибка дальномера подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а среднее квадратическое отклонение — 8 м . Найти вероятность того, что 112