381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

95 ( ) ( ) 1 2 1 2 0 1 0 1 2 ( cos ) cos ( cos ) cos 2 x x x x x dx x dx       − ω ω − ω ω = + + − + − =           π ω ω ω ω        ∫ ∫ 1 2 2 2 2 2 2 0 1 2 ( cos ) sin cos sin 2 sin sin2 sin x x       − ω ω ω ω ω ω ω   = + + − = − + =             π ω ω ω ω π ω ω ω          ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2sin 2sin cos 2 2sin 1 cos 2 4sin 1 cos 2 4sin sin . 2 2 ω ω ω ω   = − = − ω =   π ω ω π ω   ω − ω ω ω = = π ω π ω Таким образом , прямое синус - преобразование Фурье для рассматриваемой функции имеет вид 2 2 2 4sin ( ) sin 2 b ω ω ω = π ω ɶ . Сле - довательно , обратное синус - преобразование записывается как 2 2 0 0 2 2 2 4sin ( ) ( )sin sin sin 2 f x b xd xd +∞ +∞   ω ω = ω ω ω = ω ω ⇒    π π π ω   ∫ ∫ ɶ 2 2 0 8 sin ( ) sin sin . 2 f x xd +∞ ω ω   ⇒ = ω ω   π ω   ∫ Пример 6. Продолжив функцию соответствующим образом , найти косинус - преобразование Фурье для функции ( ) cos при 0 ; 0 при . x x a f x x a < <  =  >  Применение косинус - преобразования означает , что интеграл Фурье будет давать четное продолжение данной функции с полу - оси [ ) 0, +∞ на полуось ( ] ,0 −∞ . График продолжения получается симметрией относительно оси Oy аналогично рис . 27. Для реше - ния задачи применим формулу (65), получаем :