381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

90 Пример 4. Найти прямое и обратное преобразование Фурье в комплексной форме для функции ( ) 1 при ; 0 при , 0. x a f x x a a <  =  > >  Определить спектральные характеристики . Построить гра - фики амплитудного и фазового спектров при 3 a = . Согласно определению прямого преобразования Фурье , при - меним формулу (55), получим : ( ) ( ) 1 ( ) 2sin ( ) a a i x i x i x a a i a i a i a i a e S f x e dx e dx i e e e e a i i +∞ − ω − ω − ω −∞ − − − ω ω ω − ω ω = = ⋅ = = − ω − − ω = = = ⇒ − ω ω ω ∫ ∫ sin2 ( ) va S v π ⇒ ν = π ɶ – спектральная плотность . Обратное преобразо - вание Фурье (56) принимает вид 1 2sin ( ) 2 i x a f x e d +∞ ω −∞ ω   = ω   π ω   ∫ . Амплитудный спектр ( ) sin 2 va v v π ρ = π . При 0 v = значение функции ( ) v ρ неопределенно . Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя . Получаем sin 2 cos2 2 lim lim 2 v a v a va va a a v →+ →+ π π ⋅ π = = π π . Таким образом , ( ) 0 2 v v a = ρ = . Так как функция ( ) S v ɶ в дан - ном примере – вещественная функция вещественного аргумента v , то ( ) arg S v ɶ может быть либо равен нулю , если ( ) 0 S v ≥ , либо равен π , если ( ) 0 S v < , следовательно , фазовый спектр дается равенством :