381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 sin sin sin0 2 2 T k l x k l T k l k l + + ω = − ω − + + ω − ω ( ) ( ) ( ) { } 1 sin sin0 2 2 k l T T k l + + ω − = ω = π = + ω ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 sin 2 0 sin 2 0 0, 2 2 k l k l k l k l     = − π − + + π − =         − ω + ω     так как sin(2 ) 0, m m π = ∈ ℕ и в качестве m можно брать m k l = − или m k l = + . Полностью аналогичное доказательство имеем для интеграла sin sin , . T k x l xdx k l α+ α ω ⋅ ω ≠ ∫ ∆ Свойство 3 . Интеграл по отрезку , равному по длине периоду 2 T π= ω , от произведения любых двух одноименных функций , три - гонометрической системы отличен от нуля , причем +T 1 ; dx T α α = ∫ 2 2 cos ; sin . 2 2 T T T T k xdx k xdx α+ α+ α α ω = ω = ∫ ∫ (6) ∇ Непосредственным вычислением , используя формулы по - нижения степени и свойство 5 периодической функции , имеем + 1 ( ) ; T T dx x T T α α+ α α = = α + − α = ∫ 2 2 2 0 1 cos cos cos cos 2 T T k x k x dx k xdx k x α+ α + ω   ω = ω = ω = =     ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 1 cos2 cos2 2 2 2 4 T T T k x dx dx k xdx k x k = + ω = + ω ω = ω ∫ ∫ ∫