381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

87 2 Применим формулы Эйлера 2cos 2 sin cos ( ) 2 sin 2 i i i i i e e i e e i ϕ − ϕ ϕ − ϕ ω ω + = = − = ϕ = − ω ω − ϕ = 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin cos sin 2 i i i i i i ω ω ω ω −ω ω+ ω   = − = − = −   − ω ω ω ω ω   . Получили прямое преобразование Фурье 2 sin cos ( ) 2 S i ω − ω ω   ω = −   ω   . (74) Запишем обратное преобразование Фурье 2 2 1 sin cos sin cos ( ) 2 2 i x i x i f x i e d e d +∞ +∞ ω ω −∞ −∞  ω−ω ω − ω−ω ω      = − ω = ω       π ω π ω       ∫ ∫ . Найдем спектральные характеристики . 1) Спектральная плотность определяется из (74) по форму - ле (69), с учетом 2 ω = πν : 2 sin 2 2 cos2 ( ) 2 (2 ) S i   πν − πν πν ν = −   πν   ɶ . 2) Найдем амплитудный спектр 2 2 2 sin 2 2 cos2 sin2 2 cos2 ( ) ( ) 2 . (2 ) 2 S i πν − πν πν   πν − πν πν ρ ν = ν = − =   πν π ν   ɶ При 0 ν = значение функции ( ) ρ ν не определено . Для рас - крытия неопределенности применим правило Лопиталя : ( ) ( ) ' ' 0 2 2 sin 2 2 cos2 lim 2 ν→ πν − πν πν = π ν