381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

85 Тогда , обратное преобразование Фурье в комплексной фор - ме , согласно (56): ( ) 2 2 1 4 ( ) ( ) sin 2 2 2 1 ( ) sin . 2 b a i i x b a i x b a f x e e d b a e d +∞ ω + − ω −∞ +   +∞ ω −     −∞   ω − = ω =   π ω     ω − = ω    π ω   ∫ ∫ Найдем спектральные характеристики . 1) Спектральная плотность определяется из (73) по форму - ле (69), с учетом 2 ω = πν : 4 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) sin cos2 sin 2 2 2 2 b a b a b a S i πν − ω + πν +   ν = πν − =   πν   ɶ [ ] ( ) ( ) 2 sin ( ) cos ( ) sin ( ) b a b a i b a = πν − πν + − πν +     πν . 2) Найдем амплитудный спектр [ ] ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) sin ( ) cos ( ) ( sin ( ) ) | | S b a b a b a ρ ν = ν = πν − πν + + − πν + ⇒ π ν ɶ [ ] 2 ( ) sin ( ) | | b a ⇒ ρ ν = πν − π ν . При 0 ν = значение функции ( ) ρ ν не определено . Для рас - крытия неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом : [ ] 0 2 lim sin ( ) 2( ). | | b a b a ν→ πν − = − π ν Построим график амплитудного спектра при 2, 5 a b = = ( рис . 22): [ ] ( ) 2 2 ( ) sin (5 2) sin 3 | | | | ρ ν = πν − = πν π ν π ν .