381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

82 ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 i i i i e e e e ω − ω ω − ω   = − − = − + =   ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cos 2 4 4 1 cos sin . 2 2 i i i i e e e e ω − ω ω − ω     + +     = − = − =     ω ω     − ω ω = − ω = = ω ω ω Таким образом , получено прямое преобразование Фурье в комплексной форме : 2 2 4 ( ) sin 2 S ω ω = ω . (72) Тогда обратное преобразование Фурье в комплексной форме , согласно (56) и (72) имеет вид 2 2 2 2 sin 1 4 2 2 ( ) sin 2 2 i x i x f x e d e d +∞ +∞ ω ω −∞ −∞ ω     ω   = ω = ω     π ω π ω       ∫ ∫ . Найдем спектральные характеристики преобразования Фурье . 1) Спектральная плотность определяется из (72) по формуле (69) с учетом 2 ω = πν : ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 1 ( ) sin sin ( ) 2 2 S πν ν = = πν πν πν ɶ . 2) Амплитудный спектр ( ) 2 2 1 ( ) ( ) sin S ρ ν = ν = πν πν ɶ . При 0 ν = значение функции ( ) ρ ν не определено . Для рас - крытия неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом :