381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

81 Примеры решения задач « Преобразование Фурье » Пример 1. Найти прямое и обратное преобразование Фурье в комплексной форме для функции 1 , ( 1;0]; ( ) 1 , (0;1); 0, 1. x x f x x x x  + ∈ −  = − ∈   ≥  Определить спектральные характеристики . Построить гра - фики амплитудного и фазового спектров . Используем формулы (55), (56). Прямое преобразование Фурье в комплексной форме : ( ) ( ) i x S f x e dx +∞ − ω −∞ ω = ∫ . Обратное преобразование Фурье в комплекс - ной форме : 1 ( ) ( ) 2 i x f x S e d +∞ ω −∞ = ω ω π ∫ . Найдем прямое преобразова - ние Фурье , применяя метод интегрирования по частям : 0 1 1 0 1 ( ) (1 ) (1 ) 1 b b b a a a i x i x i x i x udv uv vdu u x du dx S x e dx x e dx u x du dx e dv e dx v i − ω − ω − − ω − ω = − = + ⇒ = ω = + + − = = = − ⇒ = − = ⇒ = − ω ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 ( ) i x i x i x i x e e e e x dx x dx i i i i − ω − ω − ω − ω − −         = + − + − − − =     − ω − ω − ω − ω     ∫ ∫ ( ) ( ) 0 1 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i x i x i i e e e e i i i i i i i − ω − ω ω − ω − = + ⋅ + + ⋅ = − + − = − ω ω − ω ω − ω − ω ω ω ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 i i i i e e e e ω − ω ω − ω = − − − = − − + = ω ω ω