381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos cos cos cos ; 2 1 sin sin cos cos ; 2 1 sin cos sin sin . 2 α β = α − β + α + β     α β = α − β − α + β     α β = α + β + α − β     Вычислим при , k l ∈ ℕ : ( ) ( ) 0 1 sin cos sin cos sin sin 2 T k x l xdx k x l x k l x k l x   ω ω = ω ω = + ω + − ω =         ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 sin sin cos 2 2 2 T T T k l xdx k l xdx k l x k l = + ω + − ω = − + ω − + ω ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 cos cos 1 2 2 T k l x k l T k l k l − − ω = − + ω − − − ω + ω – ( ) ( ) ( ) 1 cos 1 2 k l T k l − ω − = − ω { } ( ) ( ) ( ) 1 2 cos 2 1 2 T k l k l ω = π = − + π − + ω – ( ) ( ) ( ) 1 cos 2 1 2 k l k l − + π − = − ω ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 2 2 k l k l = − − − = + ω − ω , так как cos(2 ) 1, m m π = ∈ ℕ и в качестве m можно брать m k l = − или m k l = + . Вычислим при k l ≠ ( ) ( ) 0 1 cos cos cos cos cos cos 2 T k x l xdx k x l x k l x k l x   ω ω = ω ω = − ω + + ω =         ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 cos cos sin 2 2 2 T T T k l xdx k l xdx k l x k l = − ω + + ω = − ω + − ω ∫ ∫