381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

7 • Свойство 2 ( свойство ортогональности ). Интеграл по от - резку , равному по длине периоду 2 T π= ω , от произведения любых двух разноименных функций тригонометрической системы равен нулю : ( ) 1 cos 0; 1 sin 0; sin cos 0 , , cos cos 0; sin sin 0, . T T T T T k xdx k xdx k x l xdx k l k x l xdx k x l xdx k l α+ α+ α+ α α α α+ α+ α α ⋅ ω = ⋅ ω = ω ω = ∈ ω ω = ω ω = ≠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ℕ Это свойство формулируется еще и так : функции тригоно - метрической системы ортогональны на отрезке [ , ] T α α + . ∇ Поскольку интегралы от периодической функции по от - резку , равному по длине периоду , равны ( свойство 5 периодиче - ских функций ), то достаточно доказать ортогональность на отрезке [0, ] T . Воспользуемся методом подведения функции под знак диф - ференциала : 0 0 0 1 sin( ) 1 cos 1 cos cos ( ) T T T T k x k x dx k x dx k x d k x k k α+ α ω ⋅ ω = ⋅ ω = ω ω = = ω ω ∫ ∫ ∫ [ ] { } [ ] 1 1 sin( ) sin0 2 sin( 2 ) 0 0. k T T k k k = ω − = ω = π = π − = ω ω Аналогично , 0 0 0 1 cos( ) 1 sin 1 sin sin ( ) T T T T k x k x dx k x dx k x d k x k k α+ α ω ⋅ ω = ⋅ ω = ω ω = − = ω ω ∫ ∫ ∫ [ ] { } [ ] [ ] 1 1 1 cos( ) cos0 2 cos( 2 ) 1 1 1 0. k T T k k k k = − ω − = ω = π = π − = − = ω ω ω Далее воспользуемся известными тригонометрическими тождествами : (5)