381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

4 интервале длины T . Например , на интервале [ ] 0, T , , , 2 2 T T   −     [ ] , , , , 2 2 T T T   α − α + α α + α∈     ℝ . Свойства периодических функций , которые следуют непо - средственно из определения : 1) сумма , разность , произведение и частное функций периода T всегда дают функцию того же периода ; 2) тождественную постоянную можно рассматривать как пе - риодическую функцию с каким угодно периодом ( наименьшего периода у постоянной функции не существует ); 3) если T , период функции ( ) f x , то nT , где 1, 2,... n = ± ± также период . ∇ Действительно , если период функции ( ) f x , то при любом целом 1 n > имеем ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ... ( ), f x nT f x n T T f x n T f x + = + − + = + − = = следовательно , nT является периодом . Далее , ( ) ( ) ( ) ( ) f x T f x T T f x − = − + = , поэтому T − является периодом функции ( ) f x . Тогда , по только что доказанному , число ( ) n T − – период при любом целом 1 n > . ∆ ; 4) если функция ( ) f x имеет период T , то ( ) f x ω имеет пе - риод 1 T T = ω . ∇ Действительно , ( ) 1 ( ) ( ) ( ) T f x T f x f x T f x   ω + = ω + ω = ω + = ω   ω   . ∆ ; 5) интеграл от периодической функции с периодом Т по лю - бому отрезку длины Т имеет одно и то же значение :