381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

21 Вычислим коэффициенты вещественной формы ряда Фурье по формулам (13), в которых 2 2 3, 3 T T π π = ω = = ( отметим , что функция ( ) f x не является ни четной , ни нечетной ): ( ) ( ) 3 3 3 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 5 5 1 5 3 3 3 3 3 T T x x a f x dx f x dx dx dx dx T T α+ α   = = = − = − =     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 5 2 5 2 5 2 5 3 3 1 2 5 5 3 3 3 3 2 3 3 2 x dx xdx x   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − = − = ⋅ − =     ∫ ∫ . При вычислении коэффициентов и k k a b применяется метод интегрирования по частям : ( ) ( ) 3 0 0 2 2 2 cos cos 5 1 cos 3 3 T T k x a f x k xdx f x k xdx k xdx T T α+ α   = ω = ω = − ω =     ∫ ∫ ∫ 1 3 3 sin cos udv uv vdu x dx u du k x dv k xdx v k   = −       = = − ⇒ = − =         ω   = ω ⇒ = ω   ∫ ∫ 3 3 0 0 3 2 2 5 1 2 5 1 1 1 sin sin sin 2 0 3 3 3 3 sin0 0 x k x k xdx k k k ω⋅ = π   ⋅ ⋅       = − ω + ω = π = =       ω ω       =   ∫ 3 2 2 2 2 0 3 2 2 5 1 2 5 1 cos cos2 1 (1 1) 0 3 ( ) 3 ( ) cos0 1 k x k k k ω⋅ = π   ⋅ ⋅   = − ω = π = = − − =   ω ω   =   . Таким образом , из всех коэффициентов k a отличным от нуля оказался только коэффициент 0 a :