381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

15 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos 0,1,2,3... ; 2 2 sin 1,2,3,... , , . T k T k a f x k x dx k T b f x k x dx k T T α+ α α+ α = ω = π = ω = ω = ∀α∈ ∫ ∫ ℝ (13) Определение . Рядом Фурье в комплексной форме , составленным для периодической функции ( ) f x с периодом T , называется ряд ( ) ~ ik x k k f x c e ∞ ω =−∞ ∑ , (14) в котором коэффициенты находятся с помощью формул Эйлера – Фурье в комплексной форме ( ) ( ) 1 0, 1, 2, ... T ik x k c f x e dx k T α+ − ω α = = ± ± ∫ 2 T π   ω =     . (15) Ряд Фурье (12) – (13) и (14) – (15) для функции ( ) f x был построен чисто формально . Возникает вопрос : при каких условиях ряд Фурье сходится к функции ( ) f x ? Соответствующие условия называются условиями Дирихле . Сформулируем их . Функция ( ) f x удовлетворяет на отрезке [ ] , a b условиям Дирихле , если : 1) ( ) f x непрерывна на [ ] , a b либо имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода ; 2) ( ) f x монотонна на [ ] , a b либо имеет на этом отрезке ко - нечное число экстремумов . Таким образом , если функция ( ) f x удовлетворяет на [ ] , a b условиям Дирихле , то этот отрезок можно разбить на конечное число таких отрезков , на каждом из которых ( ) f x непрерывна и монотонна .