381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

13 рого m k = . В этом случае согласно формулам (6) 0 sin sin 2 T T k x k xdt ω ω = ∫ . Тогда окончательно получаем ( ) 0 sin 2 T n k T f x k xdx b ω = ∫ , отсюда ( ) 0 2 sin ( 1, ) T k n b f x k xdx k n T = ω = ∫ . (9) Аналогично , умножая левую и правую части формулы (8) на cos m x ω и интегрируя по отрезку [0, ] T , получаем ( ) 0 2 cos ( 1, ). T k n a f x k xdx k n T = ω = ∫ (10) Формулы (9), (10) представляют собой формулы Эйлера – Фурье в вещественной форме . Для получения комплексной формы формул Эйлера – Фурье из вещественной формы воспользуемся формулами (7). Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 2 2 cos sin 2 2 1 1 (cos sin ) ( 1, ); T T k k k n n T T ik x n n c a ib f x k xdx i f x k xdx T T f x k x i k x dx f x e dx k n T T − ω   = − = ω − ω =     = ω − ω = = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 1 2 2 cos sin 2 2 1 1 (cos sin ) ( 1, ) 1 ( , 1); T T k k k k n n T T ik x n n T ik x k n c c a ib f x k xdx i f x k xdx T T f x k x i k x dx f x e dx k n T T c f x e dx k n T − ω − ω   = = + = ω + ω =     = ω + ω = = ⇒ ⇒ = = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫