381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

12 Формулы Эйлера – Фурье Введенные коэффициенты , k k a b тригонометрического мно - гочлена ( ) n f x в вещественной форме можно выразить через саму функцию ( ) n f x . Умножим левую и правую части формулы тригонометриче - ского многочлена ( ) ( ) 0 1 cos sin 2 n n m m m a f x a m x b m x = = + ω + ω ∑ (8) на sin k x ω ( k – натуральное число ). Получим выражение : ( ) ( ) 0 1 1 sin sin cos sin sin sin , 2 n n m m m f x k x a k x a m x k x b m x k x = ω = ω + ω ω + ω ω ∑ которое интегрируем по переменной x от 0 до Т ( при этом вспом - ним , что интеграл суммы равен сумме интегралов от слагаемых ). Имеем ( ) 0 0 0 sin sin 2 T T n a f x k xdx k xdx ω = ω + ∫ ∫ 1 0 0 cos sin sin sin . T T n к k m a m x k xdx b m x k xdx =   + ω ω + ω ω     ∑ ∫ ∫ Согласно формулам (5) все n интегралов 0 cos sin T m x k xdx ω ω ∫ ( 1, ) m n = равны нулю и 0 sin 0 T k xdx ω = ∫ . Также равны нулю инте - гралы вида 0 sin sin T m x k xdt ω ω ∫ , кроме одного из них , для кото -