381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

11 ( ) n ik x n k k n f x c e ω =− = ∑ , где комплексные коэффициенты k c ∈ ℂ выраже - ны через вещественные коэффициенты и k k a b по формулам : ( ) ( ) 0 0 1 1 ; ; 1, , 2 2 2 k k k k k k k a c a ib c c a ib k n c − = − = = + = = . ∇ Комплексная форма тригонометрического многочлена получается из вещественной формы с помощью формул Эйлера : ( ) 1 с os 2 ik x ik x k x e e ω − ω ω = + ; ( ) 1 sin 2 ik x ik x k x e e i ω − ω ω = − . Действительно , cos sin 2 2 ik x ik x ik x ik x k k k k e e e e a k x b k x a b i ω − ω ω − ω + − ω + ω = + = 1 1 2 2 ik x ik x k k k k b b a e a e i i ω − ω     = + + − =         1 1 2 2 ik x ik x k k k k b i b i a e a e i i i i ω − ω     = + + − =         { } ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 ik x ik x k k k k i a ib e a ib e ω − ω = = − = − + + . Обозначим : ( ) ( ) 0 0 1 1 ; , 1, , 2 2 2 k k k k k k k a c a ib c c a ib k n c − = − = = + = = . (7) Таким образом , cos sin ik x ik x k k k k a k x b k x c e c e ω − ω − ω + ω = + и три - гонометрический многочлен в вещественной форме может быть записан в виде ( ) ( ) 0 0 1 1 1 . n n n n ik x ik x ik x ik x ik x n k k k k k k k k k n f x c c e c e c c e c e c e − ω − ω ω ω ω − = = =− =− = + + = + + = ∆ ∑ ∑ ∑ ∑