Основы дифференциального и интегрального исчислений. С 31 чертеж. в тексте

192 СУЩЕСТВОВАНШ ИНТЕГРАЛА НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦШ. Положимъ, ЧТО Q им-Ьетъ р, а им-Ьетъ р' частныхъ иьтер- валовъ. Пусть В будетъ наибольшая длина частнаго интервала раз- ложешя а В'—наибольшая длина частнаго интервала разло- жешя 3 ' . Въ отношен!и разложен1я g ' частные интервалы разложен1я 3 распадаются на 2 класса: 1. TaKie, которые лежатъ въ одномъ изъ частныхъ интерва- ловъ разложен!я Q ' ; 2. TaKie, внутри которыхъ содержится, по крайней Mtpt, одна изъ точекъ д'Ьлен!я разложен1я 3 ' - Число частныхъ интерваловъ второго класса, очевидно, не мо- жетъ быть больше, ч'Ьмъ р' — 1, ъ Члены 2?(а, р) и S ( 3 ) мы называемъ членами перваго или а второго класса, смотря по тому, будетъ ли (а, р) частный интер- валъ перваго или второго класса. Зам'Ьстимъ въ каждомъ член'Ь J?(a, Р), принадлежаш,емъ ко второму классу, число Л^(а, р) числомъ ?в(а, |5). Тогда сумма этихъ членовъ и членовъ перваго класса не будетъ больше, ч'Ьмъ s(3')- а Но предпринятое нами уменьшение не больше, ч1;мъ {р' — 1)Ъ{М{а, Ь) — т{а,Ь)}. Поэтому, положивъ М( д , Ь) — т{а, i ) = о (а , Ь), мы можемъ писать 8 ( 3 ) ^ 8 Ш ' ) + ( / ' ' - 1 ) 5 о ( й , &). а а Но на томъ же основан1и S ( 3 ' ) ^ S ( 3 ) + ( / ' - l ) S ' a ( « , J ) . а а ') Ни одинъ изъ разсматриваемыхъ интерваловъ не долженъ, сле­ довательно, быть больше, ч'Ьмъ В, и, по крайней м^р^, одинъ долженъ быть равенъ В. Подъ длиной или величиной интервала разумеютъ раз- кость р — й, если а есть его нижняя, а (3, верхняя граница.