Механика материальных точек твердых, упругих и жидких тел

Если функция, гармоническая внутри круга радиуса ./? может быть на его окружности разложена в бесконечный тригонометрический ряд п— со оо У(х,у)= V (Л„соз п. sin /г со) Г„, 69 П — О О т о решение задачи Дирихле для внутренней части круга предста­ вляется рядом Действительно, каждый член этого ряда гармоническая функция; следовательно, и ряд, если он сходится, будет гармонической функ­ цией. На окружности р = и, следовательно, ряд принимает задан­ ные значения V. Абсолютное значение каждого члена ряда 70 меньше абсолютного значения соответствующего члена в ряду 69 благодаря б" множителю следовательно, если ряд 69 сходится, т о сходится R и ряд 70. Так как этот ряд удовлетворяет всем условиям, то на основании принципа Дирихле он является единственной функцией, удовлетворяющей им. Мы можем решить внешнюю задачу при помощи круговых функций отрицательных степеней. При п отрицательном ряд R R~ у = -I- т . 71 о р- - сходится, принимает требуемые значения на окружности и обра­ щается в нуль в бесконечности. Для кольцеобразной площади между двумя концентрическими окружностями мы можем удовлетворить условиям при помощи рядов с положительными и отрицательными Кру.ГОВЫМ'-И функциями го у = 2 р" (Л„ cos ?г со sin и u) -1- О го • -i- ^ (Д'„ cosre ш4 - В'„ sin п oi) -р С In р -I- D. 7 2 1 140а. Разложение по круговым функциям. 1У1ы можем приме­ нить формулу 63 § 139 для того, чтобы получить разложение в тригонометрический ряд функции, заданной на окружности круга. Пусть /?, ш обозначают полярные координаты точки на окружности ' Решение, даваемое автором, не содержит добавленных переводчиком членов <Г1пр - f - о ввгдеиян эгих членов и о вычислении коэффициентов Л,,, А/, Вц'у С, D см. Harnack, Die Qrundlagen der Tlieorie des logarithmisciien Potentials, § 2 и Goiirsat, Coiirs d'Analyse mathematique, t. Ill, rr' 510. Прим. H. P. 423