Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

Координаты центра тяжести Центром тяжести совокупности материальных точек назы­ вается центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках. 1)Для материальной дуги АВ плоской кривой у = /(х) прямо­ угольные координаты центра тяжести С определяются формулами (а < X < Ь) : /а ж fl+(y(z5^dz f^y(x)Jl+(y'(x)fdx Хс = , Ус 2) Для материальной однородной криволинейной трапеции прилежащей к оси ОХ и имеющей верхнюю границу у = /(х), центр тяжести имеет координаты jaXf (x)dx J^(/(z))^dz Хс = , Ус = , с S 2S где S- площадь криволинейной трапеции. 3) Центр тяжести произвольной плоской фигуры, ограничен­ ной снизу и сверху соответственно графиками функций у^ = Д (х) и У2 = /2(^)5 определяется формулами _ jg x{f2(x)-fi(x))dx _ jg{(f2(x))^-ifi(x)f)dx Хс ^ ^ Ус 2S Пример. Найти координаты центра тяжести однородного по­ лукруга х^ + у^ > расположенного над осью ОХ. Решение : Применим формулы jaXf (x)dx J^(/(z))^dz Х„ = — И Уг = — . '• S -^ 25 Так как полукруг расположен над осью ОХ, то верхняя граница задается уравнением у = Vr^ — х^. В силу симметрии относительно оси ординат абсцисса центра тяжести х^ = 0. Найдем ординату у^: Ус ~ 25 ~ 2S ~ ['^полукруга ~ 2 J 2 Г X — — 3 1 _ . Итак, координаты центра тяжести имеют вид 55