Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

3) Если дугар = р{<р), ос < (р < Р, задана в полярной си­ стеме координат и вращается вокруг полярной оси, то площадь по­ верхности вращения можно вычислить по формуле гР Sop = 271 р((р) sin (р^(р((р)) +(р'(<р)) dep. Пример 1. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Решение : Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности у = — х^, —R < X < R вокруг оси ОХ. Тогда S „ =2 ж j у(х) Jl + (y'(x )y dx rR = 271 I Rdx = 27 i R x\ = 471 R^. J-R Пример 2. Дана циклоида X = a(t — s i n t ) , y =a ( l — cos t), 0 < t < 271. Найти площадь поверхности, образованной вра­ щением ее вокруг оси ОХ. Решение : При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси ОХ площадь поверхности вращения равна —Sox = 271 [ а(1 — cos t) (а(1 — cos t))^ + (а sin t)^ dt = 2 jo ^ = 27га^ J 2^sin —^ - У1 — 2 cos t + (cos ty + (sin ty dt = 47га^ j ^sin —^ - ^2 ( 1 — cos t ) dt = 51