Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

S 2 Отсюда получаем функцию площадей сечений: Q(x) = —-х . Н S Sx^ ^ 1 Находим объем пирамиды: V = ——х dx = = —SH { н ' ЗН' 'о 3 Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно­ стями: = 1, Z = о, Z = 3. 4 х2 ^2 Решение : - + - ^ — - = 1 однополостныи гиперболоид. При пересечении его плоскостями Z = h в сечении получаем У^ / эллипсы + 1 с полуосями а = y j + 1, Ъ = 2 л / Р Т Т . Как известно, площадь эллипса S = nab, откуда площадь се­ чения S(K) = 7г2(/1^ + 1), 0< h < 3. Тогда Y=j^S(h)dh = 2п + l)dh = 2п ^ + h^\ = 2п(9 + 3 ) = 2 4 7 г ( к у б . е д . ) Объем тел вращения а) Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой j =Дх), осью ОХ и двумя прямыми X = а их = b (а < Ь) вокруг оси ОХ, то каждое сечение тела плоскостью X = const представляет собой круг радиуса R = \f (л")] , поэтому объем тела вращения может быть легко найден по получен­ ной выше формуле 46