Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения
1 способ. Выразим из уравнения переменную у через х : V 2 2 Г —X X У=- . . , _ Найдем производную ^ Тогда 1 г f 1 л f л • -^Г ^ —L = , 1 + —; -ах = —; ах = г- a r c sm — =г— 4 J v г'о 2 Тогда L = 2жг. Получили общеизвестную формулу длины окружности. 2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: г^соз^Ф + г^зт^ф = г^, с \ то есть функция р = f(ф) = г, р' = =О тогда 171 171 L = J*л/о + г^ dcp = г jdcp = 2лг Пример 2. Вычислить длину дуги X = 2(sin t)^, у = 2(cos t Y , О< t < ^. Решение : Вычислим производные х ' = 6 (sin t)^ COS t, у' = —6 ( c o s tY s i n t . Тогда (x')^ +(y')^ = 36(sin t)^(cos t)^. L=/j^д/36(51п t)^(cos t)^ dt = 6 j* sin t cos tdt = 3( s int )2 | = 3 ( i - 0 ) = 1,5. Tt Пример 3. Вычислить длину дуги р = 8 sin (р, О< (р < —. 4 Решение : Так как р' = 8 cos (р, то 42
Made with FlippingBook
RkJQdWJsaXNoZXIy MTY0OTYy