Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

Решение. Меняя непрерывно <р от О до можно построить первый лепесток. Составим таблицу зна­ чений функции 9 0 7Т 12 п б п 4 Ж 3 12 2 Р 0 2 2^ 4 2л /з 2 0 7Г 1Г2 — COS 4(0 = - I 16 ( s i n 2(p)^ d(p = 8 I d(p ^ Jq Jq ^ ( sin4(Z)\ = 4(*> 4 — ) | = 2T- Следовательно, площадь всех лепестков S = 45i = 87г. Пример 5._Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия­ ми, заданными уравнениями = 4sin(p и Р2 —2. Решение : При изменении (р от О до 7Г полярный радиус Pi опишет кривую, изображенную на рисунке, max Pi = 4 при п <Р=7- Уравнение Р2 = 2 есть уравнение окружности с центром в точке О и радиуса 2. Найдем, при каких значениях (р линии Pi = 4 sin (р и Р2 = 2 пересекаются. Для этого решим систему 4 sin ^ = 2 р = 4 s m ю 1 7Г 5 Тогда искомая площадь smcp =-^(р-^=-,(р2=-п. 39