Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия­ ми, заданными уравнениями X = 2 ( t — sin t ) , y = 2 ( 1 — COS t), У = 2 (0 < X < An,у > 2 ). Решение : Из условия задачи следует, что у > О при любом t. Решим неравенство у = 2 ( 1 — cos t ) > 2 ^ 2 — 2 cos t >2 ^ cos t < О ^ 27г/с + — 3 <t< —n + 2 пк, к Е Z. п 3 Но по условию задачи О< X < 4п. При к = О — < t < -п , следовательно 2 —s i n 0 < X < 2 или п — 2<х<3п + 2. При к ^ О X не будет принадлежать интервалу (0,47г). Фактически мы должны вычислить площадь фигуры, заклю­ ченной между прямой у = 2 и частью циклоиды, расположенной выше этой примой. Искомая площадь гЗп+2 гЩ- S = I ( / ( х ) — 2)dx = I (2(1 — cos t ) — 2) 2 ( 1 — cos t)dt Jtt-2 H 371 371 4 jn - ( (1 — cos t)^ — 1 -b cos t)dt = 4 jn- Г—2 cos t + 2 ^dt = 2 1+cos 2t • + cos t 36