Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

Решение : Особая точка х = 1 лежит внутри отрезка инте­ грирования. По определению, dx dx dx : i (x - 1)2 = i (x - 1)2 + Ji ~ dx dx = lim 7 TT7+ 7 7ч9 -51-0 Jo (X - 1)2 5^-0 (x - 1)2 1 1 1 1 = —lim 71 — lim 1 = lim- — 1 — 1 + lim— <5^—>0 X 1 82^0 x 1 (5^—>0 (5-1 sn ^2^0 = +00 — 2 + 00 = +00. Интеграл расходится. • Замечание. Пример 3 демонстрирует, как важно начинать ис­ следование несобственного интеграла с определения особых точек. Ведь, если решать его формально по формуле Ньютона - Лейбница для определенных интегралов: г 2 _ ^ = - — I = - 1 - 1 = - 2 -'о (х-1)2 х-1 ' - ) был бы получен неверный результат. Для несобственных интегралов от неограниченных функций справедливы те же утверждения, что и для несобственных интегра­ лов с бесконечными пределами интегрирования. Сформулируем, например теоремы сравнения для интеграла (2). Теорема 1. Если для некоторого числа 5 > О при а < x < а + 5 имеет место неравенство: О < / ( х ) < д{х), то из сходимости интеграла/ g { x^dx (а- особая точка функции ^ ( х ) ) следует сходимость интеграла/ f{x}dx, (а - особая точка 30