Математическая логика и теория алгоритмов. Для изучающих компьютерные науки

15). Некоторые вещи, которые я видел ранее, всегда вижу вновь спустя оп­ ределенное время. 16). Если я когда-либо видел две вещи одновременно, то в будущем тоже увижу их одновременно. 4. Пусть переменные в следующих выражениях пробегают множество дей­ ствительных чисел, а алгебраические знаки имеют свои обычные значения. Прочтите эти выражения и определите, истинны ли они: 1) VxVy(x+y=y+x)\ 2) Vx3y(x+y=3)] 3) Зу Vx(x+y=3)-, 4) 3х3у(х+у=3)-, 5) \/х\/у(х+у=3); 6) (\/х\/у(х+у=3))^(2=3); 1) 3х3у((х>у>0)&(х+у=0)); 8) Vx((x^>x)^(x>l)v(x<D))); 9) Vx(((x>2)&l(x>3))^2<x^))-, 10) Vx(((x>2)&(х<1))^х^х)); 5. Рассмотрите предложения, получающиеся в результате приписывания к предикату х=у, определенному на множестве всех действительных чисел, все­ возможных комбинаций кванторов существования и всеобщности. Какие из по­ лученных предложений истинны? 6. Пусть Р(х) обозначает: х - смертен. Сформулируйте словесно следую­ щие выражения: а) VxP(x); 6) ЗсР(х); в) —i\/xP(x); г) Vx —P(x); д) Зс—Р(х); о) —>ЗсР(х); ж) (ЗсР(х))&Ву—Р(у); з) (Vx —P(x))^—i3xP(x). 7. Для действительных чисел запишите символически, т.е. используя обо­ значения Зх, х=у и т.п., предложения, выражающие: а) коммутативность сложения; б) коммутативность умножения; в) ассоциативность сложения; г) ассоциативность умножения; д) дистрибутивность умножения относительно сложения. 8. Выразите область истинности предикатаfx,через область истинности предикатов (Ос, и Вfx,у), если: а) Pfx,yJ = -Л(х,у); б) Р(х,у) =А(х,у) & -^(х,у); в) Р(х,у)= -А(х,у) vB(x,y); г) Р(х,у)=А(х,у)^В(х,у); д) Р(х,у) =А(х,у)=В(х,у). 9. Пусть М - множество действительных чисел, а А(х) обозначает, что х обладает некоторым свойством А. Запишите символически следующие предло­ жения: 1) существует хотя бы одно ХЕМ такое, что А(х); 2) существует ровно одно ХЕМ такое, что А(х)\ з) существует не более одного ХЕМ такого, что А(х); 4) существует в точности два ХЕМ таких, что А(х)\ 5) существует не менее двух ХЕМ таких, что А(х)-, б) существует не более двух ХЕМ таких, что А(х). 53