Математическая логика и теория алгоритмов. Для изучающих компьютерные науки

ленная аккуратность и правильное понимание контекста. В естественном языке часто слово "все" пропускается. Например, предложение "рыбы дышат жабра­ ми" означает, что все рыбы дышат жабрами или что каждая рыба дышит жаб­ рами. Поэтому при символизации необходимо ввести квантор обш,ности. Таким образом, если положить для множества живых суш,еств, что Щх) означает "х - рыба", а G(x) - "х дышит жабрами", то имеем Vx(R(x)^(x)). Но в то же время не в каждом случае встречаюш,иеся в предложениях сло­ ва "все" понимаются как "каждый". Например, предложение "все песчинки об­ разуют кучи песка" не означает, что каждая песчинка образует кучи песка, сле­ довательно, при символизации нельзя употреблять квантор td, как это сделано в предыдуш,ем примере. В языке слово "все" имеет два значения: "любой, каж­ дый" и "все вместе". Квантор применяется для первого значения. Из изложенного следует, что " VxP(x)" служит обозначением для следую- тттих высказываний: - для всех X выполняется (имеет место) Р(х); - для каждого х выполняется (имеет место) Р(х)\ - для любого X выполняется (имеет место) Р(х)\ - для произвольного X выполняется (имеет место) Р(х)\ - каково бы ни было х, выполняется (имеет место) Р(х). В языке слово "некоторый", так же как и "все", часто пропускается. На­ пример, предложение "люди побывали на Луне" означает, что некоторые люди побывали на Луне. Символическая запись ЗхР(х), как мы знаем, означает, что для некоторых х имеет место Р(х), но не исключено, что и для всех х имеет место Р(х). В естест­ венном же языке слово "некоторый" иногда употребляют в смысле "не все". Ко­ гда говорят "некоторые студенты отличники", подразумевают, что некоторые, но не все студенты отличники. Следовательно, имеется в виду: "неверно, что все студенты отличники, но некоторые - отличники". Тогда, если С(х) означает "х - студент", 0(х) означает "х - отличник", получим: Vx(C(x) =Ю(х))) &Бх(С(х)&0(х)). Итак, слово "некоторый" имеет два значения: первое - "некоторый, но может быть и все", второе - "некоторый, но не все". Символ Вх обозначает первое. Сле­ довательно, запись ВхР(х) служит обозначением для следуюш,их высказываний: - для некоторых х (имеет место) Р(х); - существует х, для которого Р(х); - найдется х, для которого Р(х); - хотя бы для одного X (верно) Р(х); - имеется х, для которого Р(х). Запишем следуюш,ие часто встречаюш,иеся предложения и справа от них приведем их символическую запись: (А) все S суть Р - Vx(S(x) =^Р(х)); 30