Математическая логика и теория алгоритмов. Для изучающих компьютерные науки

ВВЕДЕНИЕ Логика обычно понимается как наука о способах доказательств и опровер­ жений. Математическая логика - это логика, развиваемая с помощью матема­ тических методов. Изучая методы доказательств и опровержений, логика интересуется в пер­ вую очередь формой получения истинных выводов, а не содержанием посылок и заключений в том или ином рассуждении. Рассмотрим, например, следующие два вывода: 1. Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ - смертен. 2. Все котята любят играть. Мурка - котенок. Следовательно, Мурка лю­ бит играть. Оба эти вывода имеют одну и ту же форму: Все А суть В; С есть А; следо­ вательно, С есть В. Эти выводы верны в силу своей формы, независимо от со­ держания и от того, истинны или ложны взятые сами по себе посылки и заклю­ чения. Систематическая формализация и каталогизация правильных способов рассуждений - одна из основных задач логики. Если при этом применяется ма­ тематический аппарат и исследования посвящены в первую очередь изучению математических рассуждений, то эта логика является математической логикой (формальной логикой). Математическая логика начала формироваться давно. Зарождение ее идей и методов происходило в Древней Греции, Древней Индии и Древнем Китае примерно с VI в. до п. э. Уже в этот период ученые пытались расположить цепь математических доказательств в такую цепочку, чтобы переход от одного звена к другому не оставлял сомнений и завоевал всеобщее признание. Уже в самых ранних дошедших до нас рукописях «канон» математического стиля изложения прочно установлен. Впоследствии он получает окончательное завершение у ве­ ликих классиков: Аристотеля, Евклида, Архимеда. Понятие доказательства у этих авторов уже ничем не отличается от современного. Логика как самостоятельная наука берет свое начало в исследованиях Ари­ стотеля (384 - 322 г. до п. э.). Великий философ древности Аристотель осуще­ ствляет энциклопедическую систематизацию античных знаний во всех областях существовавшей тогда науки. Логические исследования Аристотеля изложены в основном в двух его трудах «Первая аналитика» и «Вторая аналитика», объе­ диненных под общим названием «Органон» (Орудие познания). 3