Математическая логика и теория алгоритмов. Для изучающих компьютерные науки

а) элементы первого множества называются точками и обозначаются через A,B,C,...,Ai, А2,..., Bj, В2,..., С], С2,...; б) элементы второго множества называются прямыми и обозначаются через Ь,с,..., aj, 02,..., bj, b2,..., cj, C2,...; в) элементы третьего множества называются плоскостями и обозначаются через а ь а2,..., Д, р2, -, Гь Г2,- • Множество всех точек, прямых и плоскостей называется пространством. На множестве точек, прямых и плоскостей введены отношения, обозначаемые словом "лежат", "между" и "конгруэнтно". 2. Считается, что мы в состоянии различить, является ли данная последовательность выражений правильно построенным выражением геометрии или нет. 3. "Точки", "прямые", "плоскости" и отношения между ними, обозначаемые словами "лежат", "между" и "конгруэнтно", подчиняются перечисляемым далее аксиомам, во всем остальном природа их произвольна. Подчеркнем еш,е раз, что под "точками", "прямыми" и "плоскостями" можно понимать любые объекты, а под словами "лежат", "между" и "конгруэнтно" - любые отношения между объектами, лишь бы для них выполнялись перечисляемые далее аксиомы. Будем употреблять такие термины как "отрезок", "прямая", "проходить через точку" и т.п., не вводя их определений. Считаем, что читатель это сделает сам, либо обратится к курсу геометрии. Теперь зададим аксиомы. Все аксиомы подразделяются на 5 групп. Первая группа - аксиомы связи. Приведем для примера первые три аксиомы этой группы. 1). Каковы бы ни были две точки А, В, суш,ествует прямая а, проходяш,ая через каждую из точек А, В. 2). Каковы бы ни были две различные точки А, В, суш,ествует не более одной прямой, которая проходит через каждую из точек А, В. 3). Па каждой прямой лежат, по крайней мере, две точки. Суш,ествуют, по крайней мере, три точки, не лежаш,ие на одной прямой. Вторая группа - аксиомы порядка. Первая из 4-х аксиом этой группы следующая. 1). Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то А, В, С - различные точки одной прямой Ь и точка В лежит также между С и Кроме этих двух групп аксиом, задается еш,е третья группа - аксиомы конгруэнтности (5 аксиом), четвёртая группа - аксиомы непрерывности (2 аксиомы) и пятая группа - аксиома параллельности. Здесь не приводятся все эти аксиомы, ибо наша цель не изучение геометрии, а только рассмотрение, каким образом (методом) задается геометрия. 105