Математическая логика и теория алгоритмов. Для изучающих компьютерные науки

2) заданы правила образования правильно построенных выражений (формул) теории В; 3) из множества правильно построенных выражений выделяется некоторое подмножество - множество аксиом теории В. В настоящее время многие математические теории строятся (задаются) в виде полуформальных аксиоматических теорий. Однако при этом построение их не доводится до того вида, какого требуют п.п.1) - 3). Во многих случаях алфавит не перечисляется, кроме того, не задаются правила образования слов и правильно построенных выражений, а считается, что мы в состоянии отличить, является ли произвольное предложение правильно построенным выражением теории. Например, предложение "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны" отнесем к правильно построенным выражениям геометрии, а "треугольник - зеленый" к таковым не отнесем, хотя правила построения правильно построенных выражений геометрии и не сформулированы. Рассмотрим именно такой пример полуформальной аксиоматической теории, когда ее "строгость" не доведена до требований 1) - 3). Однако, как будет видно из построения, эту теорию можно построить и согласно требованиям 1) - 3). Прежде чем задать геометрию в виде полуформальной аксиоматической теории, нужно отметить следующее. Геометрия вначале развивалась как эмпирическая наука и в ранний период достигла особо высокого уровня развития в Египте. В первом тысячелетии до н. э. греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми фактами, но и предприняли также серьезные шаги к строгому ее логическому обоснованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330 - 275 гг. до н. э.) в его знаменательном труде "Начала". На протяжении более чем 20 веков "Начала" Евклида служили образцом ясного и строгого изложения. Кризис основ математики, в частности, и создание неевклидовых геометрий вынудили пересмотреть основы геометрии и отказаться от понятия аксиомы как самоочевидной истины. Выяснилось, что интуиция во многих случаях может "подводить", приводить к неприятностям (противоречиям). Поэтому пришлось, по возможности, отказаться от попыток обращения к интуиции при построении геометрии и ввести как аксиомы все свойства и "очевидные" положения, которые Евклид использовал в геометрии, но не вводил их в постулаты и аксиомы. Доведение строгости геометрии до некоторых современных понятий строгости было завершено в работах Паша (1882г.) и Гильберта (1899г.). В настоящее время имеются различные редакции задания геометрии. Введем задание геометрии (аксиоматику Гильберта) согласно работе [13]. Геометрия считается заданной, если: 1. Задано три различных множества: 104