Комплексный анализ

/(z) не обращается в нуль ни в одной точке границы Г области D. Тогда разность между полным числом нулей и полным числом полюсов функции /(z) в области D определяется выражением: Ы - Р =— \ ^ Щ И С . ( 7 ) 2ж, I f (С) Под полным числом нулей (полюсов) понимается число нулей N (полюсов Р) О, учетом их кратности N = ^n, ; p = Y,Pk- к=\ к=\ Без доказательства. Теорема Руше. Пусть функции /(z) и (p {z) являются аналитическими в замкнутой области причем на границе Г области D имеет место неравенство: \f{z\>\(p{z\. (8) Тогда полное число нулей в области D функции F{Z) = f{z)+(p{z) равно полному числу нулей функции /(z). Доказательство. Для функции /(z) и F{Z) = f{z)+(p{z) выполнены все условия предыдущей теоремы. Действительно, функция /(z) не имеет особых точек на Г (она аналитическая в Z)') и не обращается в нуль на Г в силу неравенства (8). Эти условия также выполнены для функции F{Z), так как ^ | / W R - W \ > ОИЮ|Г =|/(Ю +ФИ> | / (Ю| Г- \ Ф ) 1 > 0 , поэтому на основании формулы Ж-Р = —Var[arg/(z)]p+, где справа полная 2п вариация аргумента функции /((f) при обходе точкой замкнутого контура Г, деленная на 2л . Получим: 85