Комплексный анализ

действительной оси -R<x<R, R>Rq И дуги полуокружности \z\ = R в верхней полуплоскости Z. По основной теореме теории вычетов ^ ^ г 1 | Е - / ( Х ) Л + J E " - 7 ( ^ ) £ / ^ = 2 « £ B B I 4 [ E ' " ' / ( 4 Z , J . ( 1 5 ) -R Ci к=\ По лемме Жордана, предел второго слагаемого в левой части (15) при R^co равен нулю. Теорема доказана. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ П О Н Я Т И Е Л О Г А Р ^ Ф ^ Ч Е ( Ж О Г ( ^ Щ > Пусть в области D задана однозначная функция /(z), аналитическая всюду в Z), за исключением конечного числа изолированных особых точек {к = \,2,...,Р), причем все z^ являются полюсами. Предположим, что на границе Г области D нет ни нулей, ни особых точек функции /(z), и рассмотрим вспомогательную функцию (1) Функцию (p{z) часто называют логарифмической производной функции /(z), а вычеты функции (p{z) в ее особых точках z^ {т = \,...,м) - логарифмическими вычетами функции /(z). Определим особые точки функции (p{z) в области D. В силу общих свойств аналитических функций ясно, что особыми точками функции (p{z) будут нули z^ {к = \,2,...,п) и полюсы z^ {к = 1,2,...,Р) функции /(z). Пайдем значение вычета функции (p{z) в каждой из ее особых точек. Пусть точки z = z^ являются нулем порядка щ функции /(z). Тогда в окрестности этой точки функции /(z) имеет вид /(z) = (z - Z,)""/ j (z); /1 (2;,) ^ о. (2) Причем точка является правильной точкой /(z). Вычисляя функцию (p{z) в окрестности точки z = z^ по формуле (1), получаем: 83