Комплексный анализ

Доказательство. Условие равномерного стремления /(z) к нулю означает, что при |z| = R имеет место оценка = (11) где jUr ^ O при R^cc. С помощью соотношения (11) оценим исследуемый интеграл. Сделаем замену переменной, положив (^ = Яе"^, воспользуемся очевидными соотношениями 2 7Г sin(p> —(p при 0<(р< — . (12) ж 2 Тогда получим 7Г < JU^ • \d(p = 1Л^-К\== 2//^, • i? j < 0 0 о (13) >0. ЧТО и доказывает лемму. Теорема. Пусть функция /(z), заданная на всей действительной оси - о о < х < о о , может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость lmz<0, а ее аналитическое продолжение функция /(z) в верхней полуплоскости удовлетворяет условиям леммы Жордана и не со имеет особых точек на действительной оси. Тогда интеграл ^e""f{x)dx, —со а > О, суш,ествует и равен со д г j e""f{x)dx = 2пГ^ Вьи [e""/(z), z J , (14) —со к=\ где - особые точки функции /(z) в верхней полуплоскости Z. Доказательство. По условию теоремы, особые точки функции /(z) в верхней полуплоскости удовлетворяют условию |z| < . Рассмотрим в верхней полуплоскости Z замкнутый контур, состояш,ий из отрезка C'R 82