Комплексный анализ

полуплоскость Imz > о, причем ее аналитическое продолжение функция /(z) удовлетворяет условиям леммы 1 и не имеет особых точек на со действительной оси. Тогда несобственный интеграл первого рода j f{x)dx —со существует и равен 0 ДГ j f{x)dx = 2л-/^ Выч [/ (z),Z J , (8) —со к=\ где z^ - особые точки функции /(z) в верхней полуплоскости. Доказательство. По условию теоремы, функция /(z) в верхней полуплоскости имеет конечное число особых точек z^, причем они удовлетворяют условию |z| < . Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из отрезка действительной оси -R<x<R (R>Rf^) и полуокружности С^, \z\ = R в верхней полуплоскости. В силу основной теоремы вычетов ^ - л? j f{x)dx + j f{z)dz = 27ii^ Выч [/(z), z^]. (9) -R Ci k=\ Так как выполнены условия леммы 1, то предел второго слагаемого в левой части (9) при R^cc равен нулю, правая часть (9) при R>R^ от R не зависит. Отсюда следует, что предел первого слагаемого существует и его значение определяется формулой (8). Теорема доказана. со 3. Интегралы вида ^e"^f{x)dx. —со Л е м м а Ж о р д а н а . Пусть функция /(z) является аналитической в верхней полуплоскости Ln z > О, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и равномерно, относительно argz (о < argZ < Л") стремится к О при |z| ^ оо. Тогда при а >0 lim =0 , (10) R^CO J CR где Сд - дуга полуокружности \z\ = R в верхней полуплоскости Z. 81