Комплексный анализ

Критерий Коши. Последовательность комплексных чисел {z „} сходится тогда и только тогда, когда >0 можно указать такое N{S), ЧТО К ~ ^П+Т I < ^ при \/п > N{S) И \/т > О . Доказательство. Доказательство базируется на теореме 1 и на том, что критерий Коши является основным признаком сходимости последовательности действительных чисел. Необходимость. Пусть {z „} —-^z ^ { а „ } — Ю — Следовательно, для последовательностей {а„} и выполняется критерий Коши, т.е. > О 3N^{s)\\a^ \ ^ Ы^{е)Ут >0; V £ > О 3^2 (^): \Ьп - \<^\fn>N^{s)\/m>0. Тогда из неравенства треугольника следует \а + Ь\< \а\ + \Ь\ \а +Ь\<\а\+ |й| . К - I < ^ > 7V( £) , причем = max(iVi (г), (г)). Достаточность. Пусть условие теоремы выполняется для {z „}, следовательно, критерий Коши будет выполняться и для {а„} и \Ь^], следовательно, {а„} и \Ь^] будут сходяш,имися. Тогда в соответствии с теоремой 1 можно утверждать, что последовательность комплексных чисел ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ НЕРЕМЕННОЙ Определение. Будем говорить, что на множестве Е комплексной плоскости Z задана функция комплексной переменной, если задан закон, ставяш,ий в соответствие каждой точке множества Е некоторое комплексное число. Определение. Множество Е называется множеством значений независимой переменной (множество задания). 8