Комплексный анализ

Доказательство. В самом деле, если {z^}^ z = a + ib, то для любого £ •> О Это и доказывает сходимость последовательностей } и } к а и й соответственно. Обратное утверждение следует из соотношения последовательностей {а„}, {й„}и z = a + ib. Определение. Последовательность комплексных чисел {z „} называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех элементов этой последовательности выполняется |z „| < М. Основное свойство ограниченной последовательности характеризует следующая теорема. Теорема 2. Из всякой ограниченной последовательности комплексных чисел {z „} можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. В силу того, что последовательность {z „} ограничена, то ясно, что соответствующие ей действительные последовательности } и также ограничены. Рассмотрим последовательность {а„}. Так как эта последовательность действительных чисел ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность | , предел которой обозначим а. Последовательности | соответствует последовательность | , также являющаяся действительной и ограниченной. Поэтому из нее можно, в свою очередь, выделить сходящуюся подпоследовательность К Л — э т о м соответствующая подпоследовательность | по- прежнему сходится к а. Отсюда следует, что последовательность комплексных чисел |= j также является сходящейся, причем Ki I—= a + ib, что и доказывает теорему. |а - I < |z - z „ I < £ и |й - I < |z - z „ I < е при п> N{S). где а я Ь являются пределами 7