Комплексный анализ

Теорема Коши. Так как значение контурного интеграла определяется направлением интегрирования, в качестве положительного направления обхода выберем такое направление, при котором область, ограниченная этим контуром, все время остается слева. Интегрирование в положительном направлении обозначается j f{z)dz, С+ в отрицательном направлении - j f{z)dz. С- Свойства контурного интеграла от функции комплексной переменной, аналитической внутри области, ограниченной данным контуром, во многом определяется свойствами криволинейного интеграла второго рода. Для криволинейных интегралов по замкнутому контуру имеет место следующее утверждение: если функции Р{х,у) и Q{x,y) непрерывны в замкнутой области D, ограниченной кусочно-гладким контуром С, а их частные производные первого порядка непрерывны в D, то f Pdx + Qdy = f f dy . (4) Теорема Коши. Пусть в односвязной области D задана однозначная аналитическая функция /(z). Тогда интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области Z), равен 0: \f(c)dc = о. Г Доказательство. Согласно формуле (4) запишем: \f(c)dc = j udx-vdy + ijvdx + udy. (5) г г г Так как функция /(z) аналитическая всюду внутри контура Г, то функции ti{x,y), v{x,y) в области, ограниченной этим контуром, обладают непрерывными частными производными первого порядка, поэтому к криволинейным интегралам, стоящим в правой части последнего равенства. 39