Комплексный анализ

Лекция 4 ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С конечной длины L. Представим эту кривую параметрически. Координаты точек кривой С определяются следующим образом: ^ = r] = r]{t),Tji,Q 7] - кусочно-гладкие функции, t - действительный параметр, причем а<t<р, -оо<а, /?<оо. Накладываем следующее условие на ^(г), //(г): й о г + м о г о . Задание координат ^, rj точек кривой С эквивалентно заданию комплексной функции Cif)= ^if)+ivif) действительной переменной t. Пусть в каждой точке кривой С определено значение функции f{C). Разобьем кривую С на л частичных дуг точками деления <^0, , <^2'..., . Разбиваем так, чтобы . Обозначим . Составим сумму: 4f, .C)=Z/(C)Af, , (1) где С* - произвольная точка / -й частичной дуги. Если при условии, что тах|А<^,|^ 0 , предел суммы (1) существует и не зависит от способа разбиения кривой на частичные дуги и от выбора точек С*, то этот предел называется интегралом от функции /(<^) по кривой С и обозначается • (2) С Вопрос существования интеграла (2) сводится к вопросу о существовании некоторых криволинейных интегралов от действительной и мнимой частей функции /(<^). В самом деле, записав АС- 36