Комплексный анализ

п-\ лежащими между ними листами. Поэтому последнее склеивание нужно понимать лишь как мысленное отождествление точки свободных положительных полуосей с одинаковыми абсциссами. Имея перед глазами риманову поверхность, легко получить полное представление о функции w = z" и обратной ей функции z = yfw. То обстоятельство, что риманова поверхность имеет п листов, соответствует тому факту, что одно и то же значение w принимается в п различных точках плоскости Z или, иными словами, что каждому значению w соответствует п различных значений z, исключая точки ветвления w = о и W = 00, которым соответствует лишь по одному значению = О и z = оо. Эти точки называются точками ветвления, или критическими точками, но у этих точек ветвления порядок конечен. Если точка z, переходя из одного полуугла в другой, опишет замкнутый контур вокруг начала координат, то точка w, переходя из одной полуплоскости на другую (чередуя верхние и нижние полуплоскости) и побывав, таким образом, на всех листах, опишет также замкнутый контур и вернется к своему начальному положению. Таким образом, оставаясь на римановой поверхности, любую точку можно соединить непрерывной кривой с любой другой точкой А^. Эти две точки, в частности, могут лежать одна под другой, т.е. иметь один и тот же аффикс. Заставляя точку А двигаться вдоль этой кривой от А^ к А^, заставим соответствуюш,ую точку z непрерывно переходить от значения Zj, соответствуюш,его А^, к значению Zj, соответствуюш,ему А2, т.е. можно непрерывным изменением перейти от одной ветви функции к другой. Если, наконец, выделить на римановой поверхности какую-либо область, не содержащую взаимно-налегающих частей, т.е. не содержащую точек с одинаковыми аффиксами, то, оставаясь в пределах этой области, для каждой W будем иметь единственное соответствующее ей значение z. Таким образом, можно говорить об определенной ветви функции z = ^ 29