Комплексный анализ

Рис. 1 Рис. 2 Таким образом, для функций w = smz, w= e\ w= z" существуют области однолистности. Эти области можно выбирать так, чтобы они, не налегая друг на друга, заполняли собой всю комплексную плоскость Z. Для функции w = z" такой выбор представлен (рис. 2). Каждая из изображенных здесь областей отображается посредством преобразования w = e" ъ область, изображенную на рис. 1. Обратно, если w изменяется в области Е, то z можно считать изменяющимся в любой из соответствующих областей (рис. 2), благодаря чему можно было бы говорить не об одной, а о бесконечном множестве функций, обратных функции , определенных в области Е. Эти функции рассматриваются как различные ветви многозначной функции Inw, причем имеющей бесконечное множество ветвей. В соответствии с обозначениями (рис. 2), будем пользоваться следующими обозначениями для ветвей: ...(111^)2,(111^)1,(111^)0,(111^)1,(111^)2,.... Здесь, например, (111^)2 обозначают ту ветвь логарифма, значения которой попадают внутрь полосы g_^. Мы установили наличие различных ветвей функции Inw, пользуясь понятием однолистности. К тому же результату легко прийти и другим путем. Переходя к функции z = \nw, рассмотрим соотношение w = e\ Полагая здесь z = x + />, w = re"', получаем ге"^=е''е'^, откуда е''=г, у = (р + 2к7г (А: = 0;±1;±2;±3;...) ИЛИ х = \пг (подразумеваются действительные значения 24