Комплексный анализ

Лекция 3 РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ Определение. Однолистная функция - функция комплексной переменной, аналитическая в области D и принимающая в различных точках Z этой плоскости различные значения, т.е. f{zi)^f{z2), если Zj Zj. Для каждой из функций smz, z", можно установить области однолистности. Рассмотрим, например, функцию Если z^=x^+iy^ Z2=x2+/j25 то = и = поэтому е"' не может равняться если Положим х^ = х^ = X vi. тогда = e J 1 - J 2 -2 sin Sin H ZZ COS Sin 2 •У\+У2 Л • * 1 ^ Z X = 2zsin e e _J1-J2 . 2 Это выражение может обратиться в нуль в том и только в том случае, если sin-^^ = 0, т.е. у^-у2=2кж. Потому, если выбрать область в виде полосы шириной 2л: СО сторонами, параллельными действительной оси, то внутри нее, в двух различных точках Zj nzj, функция будет принимать различные значения (рис. 1). Аналогичным образом можно подобрать области однолистности и для других функций. Область, описываемая точками w =e \ представляет собой все множество точек комплексной плоскости за исключением положительной части действительной оси (рис. 2). 23