Комплексный анализ

Выберем такой способ стремления Az ^ О, чтобы точки z = + Az лежали на кривой . Очевидно, соответствующие им точки w = Wg + Aw лежат на кривой Ц. Комплексные числа Az, Aw изображаются векторами секущих к кривым и Ц соответственно. При этом |Az|, |Aw| - длины векторов секущих, а argAz, argAw имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов секущих с положительными направлениями осей X я и. При Az ^ О векторы секущих преобразуются в векторы касательных к кривой в точке z^ и к кривой Ц в . Следовательно arg/'(zg ) = а = lim arg Aw - lim arg Az = Oj - , AZ^O т.е. аргумент a производной геометрически имеет смысл разности угла Ф; вектора касательной к кривой Ц в точке w^ с осью и и угла ср^ вектора касательной к ^i в точке z^ с осью х. Так как /'(z) не зависит от способа стремления Az^ 0 , можно выбрать другую кривую У2, проходящую через точку z^, и отображается в кривую Ц, проходящую через точку w^ , при этом arg /'(z^ ) = Ф2 -(Р2 =а . При этом аргумент производной будет иметь то же значение, хотя %и ^2 , Ф] и Ф2 могут отличаться, но = Oj - (Зз ^ - Ф2 = - < £ >2 . Таким образом, при отображении, осуществляемом аналитической функцией /(z), удовлетворяющей условию /'(z^)О, угол между любыми кривыми, пересекающимися в точке , равен углу между их образами. Это свойство аналитической функции /(z) принято называть свойством сохранения углов. При этом значение углов совпадает не только по абсолютной величине, но и по направлению. Рассмотрим модуль производной функции: 19