Комплексный анализ

2. Если /i(z) и /2(2) - аналитические функции в области D, то их сумма /1(2)+/2(2) и произведение f^{z)- f^{z) тоже являются аналитическими функциями в области D. f (Л 3. Если /i(z) и /2(2) - аналитические функции в области Z), то /гУЧ тоже аналитическая функция в области D, где /2iz)^0. 4. Если /(z) = w является аналитической функцией в области D плоскости комплексной переменной Z, причем в области ее значений G определена аналитическая функция = то функция F{z) = (p{f{z)) является аналитической функцией комплексной переменной z в области D - принцип суперпозиции (рис. 1). Рис. 1 5. Если w = f{z) является аналитической функцией в области D плоскости Z, причем | / ' ( ^ о ) | ^ О в окрестности некоторой точки g Z), то в окрестности точки =/ ( z j области G значений функции /(z) определена обратная функция z = f '^{w) = qiw), являющаяся аналитической функцией комплексной переменной. При этом имеет место соотношение: 6. Пусть в области D плоскости XOY задана функция ii(x,y), являющаяся действительной частью аналитической функции /(z). Тогда мнимая часть /(z) может быть построена (восстановлена) с точностью до аддитивной постоянной. Действительно, используя условие Коши-Римана, можно построить полный дифференциал неизвестной функции v: 17