Комплексный анализ

l i m ^ Az Лх:->0 Az 0, Az = Ax + iAy. Составим теперь разностное отношение /(ZQ + A z ) - / ( z o ) где Az Az = Ax + iAy, И, используя ранее записанные соотношения для прираш,ений функций и{х,у) и v{x,y), условия Коши-Римана, преобразуем его к виду где ^(х, у) = ^(х, у) + i т]{х, у). Заметим, что при стремлении Az к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому дифференцируемость функции /(z) в точке z^. Определение. Если функция /(z) дифференцируема во всех точках области Z), а ее производная непрерывна в этой области, то функция /(z) называется аналитической функцией в области D . Из теорем 3-4 следует, что необходимым и достаточным условием аналитичности функции /(z) комплексной переменной z в области D является суш,ествование в этой области непрерывных частных производных функций и{х,у) и v{x,y), связанных соотношениями Коши- Римана. СВОЖ:ТВА_АНАЛ^ТИЧ^^^ ФУНКЦИЙ Определения производной функции комплексной переменной и аналитической функции позволяет перенести на аналитические функции ряд свойств дифференцируемых функций действительной переменной: 1. Если функция /(z) является аналитической в области Z), то она непрерывна в этой области. существует предел Л7 доказывает 16