Комплексный анализ

Из существования предела для функции комплексной переменной следует существование пределов для и{х,у) и v{x,y), поэтому в точке существуют частные производные по JC функций и{х,у) и v{x,y)'. {=К{^,у)+К{^,у)- Полагая Az = iAy , находим \ ^ ^ ,.Уо + Ду)- г/(хо, Jo) ^ ^ ^ у{х,, Jo + Ay) + v(xo ,у,) ^ ° АУ^О I ./ Д У / Д У ^ M(XO,JO +AJ)-M(XO,JO) ^ v(xo,Jo +Aj)+v(xo,Jo) ^ Ду^О A;^ A;^ = -iu'y +v'y=v'y -iu'y. В результате получили: /'{z) = u[+ iv[ u[ + = v; - ш; К =^'y f'{^) = ^'y- К' к-К + + К = о ^ = -К' Теорема 4. Если в точке (xo,jo) функции и{х,у) и v(x,j) дифференцируемы, а их частные производные связаны соотношениями: ди{х,у) _ ду{х,у) ди{х,у) _ dv{x,y) дх ду " ду & ' то функция f{z) = u{x,y)+iv{x,y) является дифференцируемой функцией комплексной переменной z в точке Z q = X q + iy^ . Доказательство. Приращение функций и{х,у) и v{x,y) в окрестности (xq, Jo) могут быть записаны в виде: w(xo + Ах, Jo +Aj) -u{x^,y^) = ^dx + ^dy + ^(х, y) = u'^Ax + UyAy + ф, у), ох CJ v(xo + Ах, Jo +A j ) -v{x^,y^) = —dx + —dy + ф, j ) = v;; Ах + A j + ф, у), дх ду где ^, т] - бесконечно малые функции, такие, что ^(jc,j)^0 при J ^ JO быстрее Ах ^ О, AJ ^ О. Следовательно 15