Комплексный анализ

ДиФФ ]№Е НДИР МрС ТЬ_ФУНК ЦИЙ JCOМП Л_ЕКС НОЙJIЕ ^Е_МЕН Ж УСЛОВИЕ КОЩИ-^ИМА^НА_ Пусть в области D комплексной плоскости Z задана функция комплексной переменной /(z). Определение. Если для точки z^ G Z) существует при Az ^ О предел (предельное значение) разностного отношения этот предел называется производной функции /(z) по комплексной переменной Z в точке ZQ И обозначается /'(z). В этом случае функция /(z) называется дифференцируемой в точке z^. Требование дифференцируемости функции /(z) в точке z^ накладывает весьма важные условия на поведение действительной и мнимой частей этой функции в окрестности точки (xo,jo). Эти условия и называются условиями Коши-Римана, которые могут быть сформулированы в виде следующих теорем. Теорема 3. Если функция f{z) = u{x,y)+iv{x,y) дифференцируема в точке Zo=Xo+z>o, то в точке существуют частные производные п{х,у) и v{x,y) по переменным х, у, причем имеют место следующие соотношения: дп(Хо,Уо) ^ dv(Xo,yj ди(Хд,Уд) ду(Хд,Уд) дх ду ^ ду дх Доказательство. По условию теоремы существует предел /(ZQ +Az)-/(zo) ^ ^ разностного отношения ^ , не зависящии от способа стремления Az ^ О. Положим Az = Ах и рассмотрим выражение ° Ах^О Дх" Ах 14