Комплексный анализ

для всех точек Z ^ GE , удовлетворяющих неравенству \z-z^\<5, имеет место неравенство \f{z)- f{z^^ < s. Геометрически это означает, что функция комплексной переменной, непрерывная в некоторой точке , ставит в соответствие каждой точке из 5 -окрестности точки некоторую точку, принадлежащую s -окрестности точки ^0 =/(zo) (рис. 1). Из непрерывности функции комплексной переменной f{z) = u{x,y)+iv{x,y) следует непрерывность ее действительной и{х,у) и мнимой v{x,y) частей по совокупности переменных {х,у). Справедливо и обратное утверждение, т.е. если и{х,у) и v{x,y) являются непрерывными функциями по совокупности переменных {х,у) в точке (xo,jo), то соответственно функция /(z) является непрерывной функцией комплексной переменной z = x + iy в точке г^=х^+ iy^ . Все сказанное позволяет перенести на функции комплексной переменной некоторые свойства функций действительной переменной. СвОж : Тв А_<^УНк 1^ИИ_1ШМПл^ СН ОЙ_ПЕР 1. Если функции /i (z) и /2 (z) непрерывны в области Z), то их сумма и произведение также являются непрерывными функциями в этой области. f(z) 2. Частное от деления ' ; ( непрерывно в тех точках области D, в fiv) которых знаменатель отличен от нуля. 3. Если функция непрерывна на замкнутом множестве, то она ограничена по модулю на этом замкнутом множестве. Рис. 1 13