Комплексный анализ

Лекция 2 Н Е ПР Е РЫ О СТЬ_ФУ НКЦИИJC ОМП ^ Е К СНОЙ J I J : Р Е_МЕННОЙ. Пусть функция /(z) определена на некотором множестве Е . Рассмотрим различные последовательности точек этого множества {z „}, и пусть все они сходятся к одной и той же точке , т.е. { z „ } — , причем Рассмотрим соответствующие им последовательности значений функции {/(zj } . Если независимо от выбора последовательности {z „} существует единственный предел Ит /(zJ = ii'o, то он называется предельным значением, или пределом функции f{z^ ) в точке . Часто используют следующее определение предела функции. Определение. Число называется предельным значением функции f{z) в точке Z q , если У £ г>03^>0 такое, что для всех точек z ш Е, удовлетворяющих условию |z - | < ^, имеет место \f{z)-w^\<s. Так же, как и для действительной переменной, большое значение имеет понятие непрерывности функции комплексной переменной. Начнем рассмотрение непрерывности функции с непрерывности в точке. При этом будем предполагать, что z^ GE , где Е - множество задания функции. Определение. Функция /(z), заданная на множестве Е, называется непрерывной в точке z^ GE, если предельное значение этой функции в точке ZQ существует, конечно, и совпадает со значением /(zJ функции /(z) в этой точке ZQ, т.е. lim/(z) =/ ( z J . С помощью (г-^)-определения предельного значения условие непрерывности функции /(z) можно также сформулировать следующим образом. Функция /(z) непрерывна в точке z^, если V £>03(^>0 такое, что 12